MATA KULIAH MATEMATIKA DASAR
BARISAN
DAN DERET
MAKALAH
Sebagai
Pemenuhan Tugas Mata Kuliah Kosep Dasar Matematika dengan Dosen Pengampu Ibu
Dra. Titik Sugiarti , M.Pd
Oleh
Kelompok 6 :
Dhea Violetha Aisy P (150210204002)
Eka Agustina Rahmawati P (150210204025)
Tika
Triyana (150210204030)
Mira Karima (150210204066)
Rike Septiana D (150210204104)
Vika Ratu Febrianti (150210204109)
Fifi Dwi Setia Rini (150210204137)
Kelas B
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU
SEKOLAH DASAR
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2015
BAB I
Pendahuluan
1.1
Latar Belakang Masalah
Masalah
barisan sebenarnya sudah sejak zaman Yunani kuno muncul sebagai salah satu
masalah yang menarik perhatian. Sejak 2400 tahun yang lalu konsep barisan yang
kita kenal dalam matematika mulai banyak dibicarakan orang, yaitu sejak seorang
ahli filsafat Yunani yang bernama Zeno mengemukakan suatu krisis dalam
matematika. Krisis matematika itu dikenal sebagai paradoks Zeno, yaitu sebagai
berikut:
“Seorang
pelari yang harus menempuh suatu jarak tertentu dengan cara melampaui
setengah dari setiap jarak yang ditempuh, sebagai akibatnya pelari ini tidak
akan sampai pada ujung dari jarak yang akan ditempuhnya”. Permasalahan paradoks
Zeno baru
dapat diatasi dengan diketemukannya masalah barisan, terutama
barisan tak hingga.
Selain
masalah barisan ada pula cerita yang berkaitan dengan konsep deret dalam
matematika. Ada suatu cerita tentang seorang hamba yang meminta kepada rajanya
untuk diberi beras dengan cara meletakkan 1 butir beras pada kotak pertama
sebuah papan carur. Kemudian meletakkan 2 butir pada kotak kedua, 4 butir
pada kotak ketiga, dan seterusnya, sehingga setiap kotak selanjutnya harus
diisi dengan beras
sebanyak kuadrat dari jumlah beras yang ada pada kotak sebelumnya. Ternyata
beras seluruh negeri tidak cukup untuk memenuhi permintaan hamba ini. Uraian
di atas, pada dasarnya merupakan salah satu barisan dan deret yang
kita kenal
dalam matematika. Konsep barisan dan deret akan selalu terkait dengan
bilangan-bilangan dan aturan-aturan tertentu yang menghubungkan bilangan-bilangan
tersebut.
1.2
Tujuan
Untuk menjelaskan pengertian dan penyelesaian
Barisan dan Deret aritmatika ataupun geometri.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Barisan dan Deret
a. Pengertian Barisan
Barisan
dalam matematika mengandung arti kumpulan bilangan. Tidak sembarang kumpulan
bilangan bisa tisebut barisan. Ada syarat tertentu agar suatu kumpulan bisa
disebut sebagai barisan, sesuai definisi berikut ini.
Barisan (sequence)
adalah kumpulan bilangan yang disusun berdasarkan aturan tertentu.
Bilangan-bilangan dalam barisan disebut seabagai suku-suku barisan.
Suku
ke-n barisan biasanya dilambangkan
dengan Un. Jadi, suku ke-1 barisan
dilambangkan dengan U1,
suku ke-2 dilambangkan dengan U2, dan seterusnya. Suku pertama suatu
barisan kadang juga dilambangkan dengan a.
Contoh
:
Barisan
3,6,9,12,15,….. memiliki pola sedemikian sehingga nilai suatu suku diperoleh
dari nilai suku sebelum ditambahkan 3. Dengan demikin, kita dapat menentukan
suku-suku selanjutnya dari barisan itu, suku ke-6 = 18, suku ke-7 = 21, dan
seterusnya.
Bentuk barisan ada 2, yaitu:
1.
Barisan tak berhingga,
contoh : 1,2,3,4,5, ...
2.
Barisan berhingga,
contoh : 1,2,3,4,5,.., 100
Selain
dengan menuliskan suku-sukunya, suatu barisan dapat juga dinyatakan dalam
bentuk rumus umumnya, misalnya Un = n2 +1. Dengan
demikian juga kita dapat menentukan suku-suku barisan itu sesuai rumus umumnya
sebagai berikut.
Untuk
n =1 (suku pertama), U1 = 12 +
1 =2
Untuk
n =2 (suku ke-2), U1 = 22
+ 1 =5
Untuk
n =3 (suku ke-3), U1 = 32
+ 1 =10
Untuk
n =4 (suku ke-4), U1 = 42
+ 1 =17
Demikian
seterusnya hingga kita peroleh barisan itu 2,5,10,17,…..
Contoh
soal. Tentukan 3 suku pertama dari barisan dengan rumus umum Un = 2n2
Jawab : Untuk n
= 1, U1 = 2 (1)2
= 2
Untuk n = 2, U2 = 2 (2)2 = 8
Untuk n = 3, U1 = 2 (3)2 = 18
Jadi,
tiga suku pertama barisan ini addalah 2,8,18
b.
Pengertian
Deret
Deret (series)
merupakan bentuk penjumlahan suku-suku yang berurutan dari suatu bilangan. Untuk
barisan 2,5,8,11,14,…, deret yang bersesuaian adalah 2+5+8+11+14+…,
Deret biasanya dilambangkan dengan Sn,
dengan Un adalah suku ke-n
suatu barisan. Deret yang bersesuaian dengan itu dapat dinyatakan dengan Sn
= U1 + U2 + U3 + … +Un
Nilai hasil perhitungan suku-suku
suatu barisan hingga suku ke-n sering
disebut dengan jumlah n suku pertama, dapat juga disebut deret
hingga suku ke-n.
Contoh
soal :
Tentukan
jumlah 10 suku pertama barisan 0,4,8,12,16,….
Jawab:
yang dinyatakan adalah deret hingga ke-10. Berdasarkan polanya, kita dapat
melengkapi barisan itu hingga 10 suku, diperoleh 0,4,8,12,16,20,24,28,32,36.
Deret hingga 10 suku yang dimaksud adalah:
S10 = U1 + U2 +U3
+ U4 + U5 + U6 + U7 + U8
+U9 +U10
= 0 + 4 +8 +12 + 16 +
20 + 24 + 28 + 32 + 36
= 180
2.2 Barisan dan Deret
Aritmatika
1.
Barisan Aritmatika
Barisan
aritmatika adalah suatu barisan yang mempunyai pola keberaturan selisih dua
suku beraturan tetap harganya. Harga yang tetap ini dinamakan beda. Suatu
barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b adalah a,a + b,a + 2b,a +
3b, dan seterusnya. Dengan memperhatikan pola keberatura empat suku pertama,
Suku pertama U1 = a → = a + ( 1 – 1 )b
Suku kedua U2 = a + b → = a + ( 2 – 1 )b
Suku ketiga U3 = a + 2b → = a + ( 3 – 1 )b
Suku keempat U4 = a + 2b → = a + (
4 – 1 )b
Contoh- contoh barisan aritmatika:
+2 +2 +2 +2
a.
1, 3, 5,
7, 9,. . .
Perahatikan bahwa setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan
menambahakan 2 kepada suku sebelumnya. Sehingga, 2 adalah beda antar dua suku
+4 +4
+4 +4
b.
3, 7, 11,
15, 19, . . .
Perhatikan bahwa beda antara dua suku berurutan adalah 4.
Beda susku barisan aritmatika, b
ditentukan oleh :
b = Un-1 - Un
Un-1 = suku ke ( n +1 )
Un = suku ke n
Contoh soal.
Di antara barisan berikut ini, manakah
yang merupakan barisan aritmatika
a.
2, 8, 14, 20, . . .
b.
1, 2, 4, 8, 16, . . .
Jawab :
a.
Barisan
2, 8,
14, 20, . . .
+6 +6
+6 …………ialah barisan aritmatika
b.
Barisan
1, 2, 4,
8, 16, …..
+1 +2
+4 +8 ………….ialah bukan barisan
aritmatika
Suku ke-n barisan Aritmatika
Rumus umum suku ke-n
barisan aritmatika dengan suku pertama a dan b dapat diturunkan seperti berikut
:
U1 = a
U2 = a +b
U3 = a + 2b
U10 = a + (10-1) b
Un = a + (n-1) b
Maka
suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah
Un
= a + ( n – 1 )b
Dimana a adalah suku pertama dan b
adalah beda,
Contoh soal:
1. Tentukan rumus suku ke – n dari contoh 1
: 3 , 7 , 11 , 15, … adalah :
Un = a + ( n – 1 ) b
=
3 + ( n – 1 ) 4
= 3 + 4n - 4
Un = 4n - 1
2.
Diketahui
U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah ...
A. 30
B. 28 C. 22 |
D. 18
E. 14 |
Pembahasan
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U2 + U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6.
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8.
Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
a + 2b = 6 → a = 6 - 2b → substitusi ke persamaan (2).
a + 3b = 8
⇒ 6 - 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2)
⇒ U7 = 14 (Opsi E)
Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :
(1) U2 + U4 = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6.
(2) U3 + U5 = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8.
Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :
a + 2b = 6 → a = 6 - 2b → substitusi ke persamaan (2).
a + 3b = 8
⇒ 6 - 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2
Karena b = 2, maka a = 6 - 2(2) = 6 - 4 = 2.
Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :
U7 = a + 6b
⇒ U7 = 2 + 6(2)
⇒ U7 = 14 (Opsi E)
3. Diketahui
barisan aritmatika 26, 32, 38, 44, 50, ………..
Tentukan :
a. Beda
b. U10 +
U15
c. U50 –
U20
Jawaban :
U1 = a = 26
a. b = U2 –U1
= 32 – 26
= 6
b. U10 +
U15 = (a + 9b) + (a+14b)
= 2a + 23b
= 2 x 26 + 23 x 6
= 52 + 138
= 190
c. U50 –
U20 = (a + 49b) – (a + 19b)
= a –a + 49b – 19b
= 30b
= 30 x 6
= 180
2.
Deret Aritmatika
Deret
aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan aritmatika. Deret matematika seperti halnya deret
pada umumnya dilambangkan Sn.
Dari barisan
aritmatika 4, 7, 10, 13, 16, …………. Dapat dibentuk suaru deret yang merupakan
penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut yaitu 4+7+10+13+16+………
Definisi :
Jika
diketahui U1, U2, U3, …..Un
merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmatika maka U1 + U2
+ U3 + ……+ Un disebut deret aritmatika.
|
Sn = a + (a +b) + (a + 2b) + … + (a +
(n-1) b )
Sn = Un + (Un -b) +
(Un – 2b) + … + a
2Sn = (a + Un) + (a + Un)
+ ….. + ( a + Un)
2Sn = n (a + Un)
Sn =
(a + Un)
Sn =
(a + (a + (n-1)b)
)
Sn =
(2a + (n-1)b)
Contoh soal :
1.
Carilah jumlah 25 suku
yang pertama dari deret aritmetika 44 + 40 + 36 + 32 + ….
Penyelesaian:
Di sini a = 44,
b = 40 – 44 = -4 dan
n = 25
Sn = ½ n [2a + (n –
1)b]
S25 = ½ x 25 [2 x 44 + (25
– 1)(-4)]
= ½ x 25 [88 + 24(-4)]
= -100
2.
Hitunglah jumlah deret aritmatika 3 + 5 + 7 + 9…………, hingga
a.
31 suku pertama
b.
n suku pertama
Jawab :
a. Sn =
(2a + (n – 1) b )
S31
=
(2 (3) + (31 – 1) (2))
=
(6 + 30 (2))
=
(6 + 60)
=
(66)
= 31 x 33
S31
= 1.023
b.
Sn =
(2a + (n – 1) b )
=
(2 (3) + (n – 1 ) (2))
=
(6 + 2n – 2)
=
( 2n + 4)
Sn = n (n + 2)
= n2 + 2n
2.3
Barisan dan Deret Geometri
1.
Barisan
Geometri
Barisan geometri adalah suatu barisan yang mempunyai pola
keberaturan hasil bagi dua suku berturutan yang harganya tetap. Harga
yang tetap ini dinamakan rasio. Suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah a, ar, ar2 , ar3 , dan seterusnya dengan
memperhatikan pola keberaturan empat suku pertamanya.
Suku pertama = U1= a → = ar1-1
Suku
kedua = U2= ar→ = ar2-1
Suku
ketiga = U3 = ar2 → = ar3-1
Suku keempat = U4 =
ar3→ = ar 4-1
Contoh-contoh barisan geometri:
x2 x2 x2
a.
2, 4,
8, 16, . . .
Perhatikan bahwa setiap suku mulai dari suku kedua
diperoleh dengan mengalikan 2 kepada
suku sebelumnya, sehingga rasio dua suku berurutan adalah 2.
x
x
x
b.
,
,
,
, . . .
Perhatikan bahwa setiap suku mulai dari suku kedua
diperoleh dengan mengalikan ½ kepada suku sebelumnya, sehingga rasio dua
suku berurutan adalah ½ .
Suku
ke-n barisan geometri
Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku
pertama a dan rasio r dapat ditentukan seperti berikut ini
U1 = a
U2 = ar
U3 =
ar3-1 = ar2
U10 = ar10-1 = ar9
Un = arn-1
Maka
suku ke-n suatu barisan geometri adalah
u n =
ar n-1
Rasio r = Un
+ 1
Un
contoh soal :
1.
Carilah suku-suku kedelapan dari barisan geometri dimana suku pertama
adalah 16 dan rasio adalah 2.
Jawab :
Deketahui : a = 16 , r = 2, dan n = 8
Ditanyakan : U8 ?
U8 = arn-1
=
16 (28-1)
=
16 (27)
=
2048
2. Diketahui barisan geometri dengan U1 = 64
dan U4 = 1. Carilah rasionya dan tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut.
Penyelesaian:
Di sini a = U1 = 64, dan Un = ar n-1
Maka, U4 = 64 r3
= 64 r3
r3 = 1/64
r =
r =
Lima suku yang pertamanya adalah :
U1
= a = 64
U2 = ar = 64 x
= 16
U3 = ar2 = 64 x
)2 = 64 x
= 4
U4 = ar3 = 64 x (
)3 = 64 x
= 1
U5 = ar4 = 64 x (
)4 = 64 x
=
Jadi, lima
suku pertamanya adalah 64, 16, 4, 1,
3.
Tiga bilangan membentuk barisan
geometri yang hasil kalinya 1000. Jika jumlahnya 35, tentukan tiga bilangan
tersebut.
Jawab :
Missal tiga bilangan tersebut
, a , dan ar.
. a . ar = 1000
a3 = 1000
a = 10
+ a + ar = 35
+ 10 + 10r = 35
10 + 10r + 10r2= 35r
10 + 10r + 10r2 – 35r = 0
10 – 25r + 102 =
0
2 – 5r + 2r2 =
0
(2r – 1)(r - 2) = 0
r =
atau r = 2
untuk r =
, bilangan tersebut 20, 10, dan 5.
Untuk r = 2, bilangan tersebut 5, 10, dan 20.
2.
Deret Geometri
Seperti pada deret matematika, jika
kita memiliki suatu barisan geometri maka dapat dibentuk suatu deret yang
merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yang disebut deret geometri. Secara umum dapat
dinyatakan bahwa :
Definisi :
Jika U1, U2, U3,
.., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan geometri, maka U1
+U2 + U3 +… + Un disebut deret geometri,
dengan Un = arn-1
|
Sn = a
+ ar + ar1 + ar2 + … + arn-1
rSn = ar + ar1 + ar2 + .
.. + arn-1 +arn
Sn-rSn = a - arn
Sn (1-r) = a - arn
Sn =
a- arn
1 – r
Sn = a
(1-rn)
1 - r
Contoh soal :
1.
Suku
ke-4 dan suku ke-8 dari suatu deret gemetri adalah 54 dan 4.374. Maka jumlah
lima suku pertama deret tersebut adalah?
Jawab:
U4 = 54 → ar3 = 54
U8 = 4.373→ ar7 = 4.373
ar3 . r4 =
4.373
54 . r4 = 4.373
r4 =
r4 =
81
r =
r =
3
S5 =
a (rn - 1)
r – 1
= 2 (35
– 1)
3 - 1
= 2 (242)
2
= 242
2.
1+3+9+27+…
tentukan :
a.
Jumlah
6 suku pertama
b.
Jumlah
n suku pertama
Jawab
a.
a
= 1 , r = 3
Sn = a (rn - 1)
r – 1
= 1 (36
- 1)
3
-1
= 729 – 1
2
= 728
2
=
364
b.
Sn = a (rn
- 1)
r – 1
Sn = 1 (3n - 1)
3 - 1
Sn = 3n - 1
2
3.
BAB
III
Penutup
3.1 Kesimpulan
Barisan (sequence)
adalah kumpulan bilangan yang disusun berdasarkan aturan tertentu.
Bilangan-bilangan dalam barisan disebut seabagai suku-suku barisan.
Suku
ke-n barisan biasanya dilambangkan
dengan Un. Jadi, suku ke-1 barisan
dilambangkan dengan U1, suku ke-2 dilambangkan dengan U2,
dan seterusnya. Suku pertama suatu barisan kadang juga dilambangkan dengan a.
Contoh
:
Barisan 3,6,9,12,15,….. memiliki pola sedemikian
sehingga nilai suatu suku diperoleh dari nilai suku sebelum ditambahkan 3.
Dengan demikin, kita dapat menentukan suku-suku selanjutnya dari barisan itu,
suku ke-6 = 18, suku ke-7 = 21, dan seterusnya.
Deret (series) merupakan bentuk
penjumlahan suku-suku yang berurutan dari suatu bilangan. Untuk barisan
2,5,8,11,14,…, deret yang bersesuaian adalah 2+5+8+11+14+…, Deret biasanya
dilambangkan dengan Sn, dengan Un adalah suku ke-n suatu barisan. Deret yang bersesuaian
dengan itu dapat dinyatakan dengan Sn = U1 + U2 +
U3 + … +Un
Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang mempunyai pola
keberaturan selisih dua suku beraturan tetap harganya. Harga yang tetap ini
dinamakan beda. Suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b
adalah a,a + b,a + 2b,a + 3b, dan seterusnya. Maka suku ke-n suatu
barisan aritmatika adalah Un
= a + ( n – 1 )b.
Deret
aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan aritmatika. Deret matematika seperti halnya deret
pada umumnya dilambangkan Sn. jadi rumus deret aritmatikanya adalah Sn =
(2a + (n-1)b).
Barisan geometri adalah suatu barisan yang mempunyai pola
keberaturan hasil bagi dua suku berturutan tetap harganya. Harga yang tetap ini
dinamakan rasio. Suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah a, ar, ar2 , ar3 , dan seterusnya. Maka suku ke-n suatu
barisan geometri adalah U n = ar n-1
Deret geometri adalah
jumlah suku-suku barisan geometri. Jadi deret geometrinya adalah Sn =
a (1-rn)
1 - r
DAFTAR PUSTAKA
Miyanto. 2013. Matematika
Untuk SMA/MA Kelas XII. Klaten: Intan Pariwara.
Noormandiri, B.K. 2008. Matematika Untuk Kelas XII IPS. Jakarta: Erlangga.
Sajaka Kanta Agus, dkk. 2010. Matematika SMA Kelas XII Program IPS. Jakarta: Yudhistira.
Hastuti Puji, dkk. 2013. Matematika SMA/MA Kelas XII Semester Genap. Klaten: Viva Pakarindo
Noormandiri, B.K. 2008. Matematika Untuk Kelas XII IPA . Jakarta: Erlangga.
0 comments:
Post a Comment